[확률론 기초:Statistics 110] 2강- 해석을 통한 문제풀이 및 확률의 공리 (Story Proofs, Axioms of Probability)

본 글은 아래의 강의를 참고해서 작성한 것임을 밝힙니다.

https://www.boostcourse.org/ai152/lecture/30894?isDesc=false

[[하버드] 확률론 기초: Statistics 110

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먼저 이전 시간에 순서가 상관없으면서 복원추출을 할 때의 경우의 수가 $\binom{n+k-1}{k}$라고 나왔는데, 그 이유는 다음과 같습니다.
K개의 공을 N개의 상자로 쪼개는 것과 같은 행위이며, 이를 해석하기 위해 N - 1개의 분리선을 이용해 표현할 수 있습니다.
이때 N - 1개의 분리선의 위치를 정하기 위해 N - 1개를 선택하게 된다면 $\binom{n+k-1}{N-1} = \binom{n+k-1}{K}$이므로 $\binom{n+k-1}{k}$가 나오는 것을 확인할 수 있습니다.
강의에서는 $k = 0$, $k = 1$, $N = 2$ 인 경우도 자세히 설명해주었지만, 생략하겠습니다.

특이한 성질들

• ex 1) $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
• ex 2) $n \times \binom{n-1}{k-1} = n\times\binom{n}{k}$
  • n명 중에서 k명 뽑기, k 명 중에서 1명을 회장으로 뽑는 문제, 결과적으로 동일한 결과가 나오고 둘을 수식으로 표현함.
• ex 3) $\binom{m + n}{k} = \sum_{j=0}^k\binom{m}{j}\binom{n}{k-j}$

Non-Naive definition of probability

아직 정확하게 뭐가 다른지는 모르지만 앞서 모든 상황을 "퉁쳐서" 이해했던 부분들을 조금 더 세분화해서 이해하도록 모델링하는 방식인 듯 함.

• 확률공간(Probability space) -> S와 P로 구성됨.
  • S(Sample Space) : 표본공간
  • P(Function) : 함수
• 공리
  • $P(\varnothing) = 0, P(S) = 1$
  • $P(⋃​n=1​∞​​A​n​​)=∑​n=1​∞​​P(A​n​​) $ ($A_i, A_jA​i​​,A​j​​$ 는 서로소이다)
    위의 두 가지 공리로부터 대부분의 식을 유도할 수 있다고 함.